设函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}x^3-3x,x\leqslant a,\\-2x,x>a.\end{cases}$
① 若 $a=0$,则 $f\left(x\right)$ 的最大值为
② 若 $f\left(x\right)$ 无最大值,则实数 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
$2$;$\left(-\infty,-1\right)$
【解析】
本题考查分段函数,先画出两个函数的草图,然后结合图象分析极值点即可求解.利用函数图象解决问题.令 $g\left(x\right)=x^3-3x, x\in\mathbb {R}$,则\[g'\left(x\right)=3\left(x+1\right)\left(x-1\right),\]故 $g\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 处取得极大值 $g\left(-1\right)=2$,在 $x=1$ 处取得极小值 $g\left(1\right)=-2$.
令 $h\left(x\right)=-2x, x\in\mathbb{R}$,则 $h\left(x\right)$ 的图象经过点 $\left(-1,2\right),\left(1,-2\right)$.函数 $g\left(x\right)$ 与 $h\left(x\right)$ 的图象如下图所示. 从中即可得出此题的结果为 $(1)$ $2$;$(2)$ $\left(-\infty,-1\right)$.
题目 答案 解析 备注
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