在平面直角坐标系中,当 $P\left(x,y\right)$ 不是原点时,定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{-x}{x^2+y^2}\right)$;
当 $P$ 是原点时,定义 $P$ 的“伴随点“为它自身,平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C'$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”.现有下列命题:
① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$,则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$;
② 单位圆的“伴随曲线”是它自身;
③ 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称,则其“伴随曲线”$C'$ 关于 $y$ 轴对称;
④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是 (写出所有真命题的序号).
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
②③
【解析】
本题考查对新知识的理解转化能力,主要根据题中伴随点的坐标变换形式,联系到极坐标是解决本题的关键.观察伴随点的坐标形式,考虑利用极坐标理解“伴随点”.设 $P\left(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta\right)$,其中 $\rho>0$,则其伴随点 $P'$ 为 $\left(\dfrac{1}{\rho}\sin\theta,-\dfrac{1}{\rho}\cos\theta\right)$,即 $\left(\dfrac{1}{\rho}\cos\left(\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 2\right),\dfrac{1}{\rho}\sin\left(\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)\right)$.可以理解为将 $P$ 绕 $O$ 顺时针旋转 $\dfrac{\mathrm \pi} 2$ 得到点 $Q$,然后在射线 $OQ$ 上取 $P'$ 使得 $|OP'|=\dfrac{1}{\rho}$(可以看成关于单位圆反演),如图.对命题 ①,取单位圆上的一点 $A$,那么它的“伴随点”$A'$ 的“伴随点”相当于将 $A$ 顺时针旋转 ${\mathrm \pi} $ 得到的点,与点 $A$ 关于原点对称,命题错误;
对命题 ②,根据对“伴随点”的几何解释,命题正确;
对命题 ③,若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称,那么曲线 $C$ 顺时针旋转 $\dfrac{\mathrm \pi} 2$ 后得到的曲线 $D$ 必然关于 $y$ 轴对称,此时将曲线 $D$ 关于单位圆反演得到的曲线必然也关于 $y$ 轴对称,命题正确;
对命题 ④,任取与单位圆相离的直线,则其“伴随曲线”必然在单位圆内部,不可能是一条直线,命题错误.
综上所述,真命题是 ②③.
题目 答案 解析 备注
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