可以利用极化恒等式或基底化把向量的数量积运算转化为有关线段的长度进行计算．$ {\mathbb {极化恒等式}\quad } $ 我们熟知极化恒等式 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\left[\dfrac 12 \left(\overrightarrow a+\overrightarrow b \right)\right]^2-\left[\dfrac 12 \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b \right)\right]^2$．利用它可以将不好计算的数量积转化为好计算的线段长度．本题中有\[\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AD^2-BD^2,\]而\[\begin{split}\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}&=\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FC}\\&=FD^2-BD^2\\&=\dfrac 19AD^2-BD^2,\end{split}\]于是不难计算得 $AD^2=\dfrac{45}8$，$BD^2=\dfrac{13}8$，进而\[\begin{split}\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}&=\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{EC}\\&=ED^2-BD^2\\&=\dfrac 49AD^2-BD^2\\&=\dfrac 49\cdot\dfrac{45}8-\dfrac{13}{8}\\&=\dfrac 78.\end{split}\]$ {\mathbb {基底化}\quad} $ 设 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow {AC}=\overrightarrow b$，根据题意有\[\begin{cases} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=4,\\ \overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{CF}=\left(\dfrac 13\overrightarrow b-\dfrac 23\overrightarrow a\right)\cdot \left(\dfrac 13\overrightarrow a-\dfrac 23\overrightarrow b\right)=-1,\\ \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\left(\dfrac 16\overrightarrow b-\dfrac 56\overrightarrow a\right)\cdot \left(\dfrac 16\overrightarrow a-\dfrac 56\overrightarrow b\right),\end{cases} \]整理得\[\begin{cases} \overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=4,\\ -2 \left({\overrightarrow a}^2+{\overrightarrow b}^2 \right)+5\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=-9,\\ \overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CE}=\dfrac{-5 \left({\overrightarrow a}^2+{\overrightarrow b}^2 \right)+26\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{36},\end{cases} \]于是\[\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{CE}=\dfrac{\dfrac 52\cdot \left(-9\right)+\dfrac {27}2\cdot 4}{36}=\dfrac 78.\]