先利用和差角公式把条件等式进行齐次化，再利用同角三角函数把式子向结论靠拢，最后根据三角形内角的正切关系结合变换好的式子及均值不等式求解最小值．注意到题中条件两边的次数不齐，考虑将 $\sin A$ 改写为 $\sin \left(B+C\right)$，于是有\[\sin B\cos C+\cos B\sin C\overset{\left[a\right]}=2\sin B\sin C,\]（推导中用到 [a]．）朝结论靠拢，有\[\tan B+\tan C\overset{\left[b\right]}=2\tan B\tan C.\]（推导中用到 [b]．）我们熟知在锐角 $\triangle ABC$ 中有\[\tan A\tan B\tan C\overset{\left[c\right]}=\tan A+\tan B+\tan C,\]（推导中用到 [c]．）于是\[\tan A\tan B\tan C=\tan A+2\tan B\tan C\overset{\left[d\right]}\geqslant 2\sqrt{\tan A\cdot 2\tan B\tan C},\]（推导中用到 [d]．）从而\[\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,\]等号当 $\tan A=2\tan B\tan C$ 时取得．经验证，当 $\tan A=4$，$\tan B=2+\sqrt 2$，$\tan C=2-\sqrt 2$ 时可以取得等号，因此 $\tan A\tan B\tan C$ 的最小值是 $8$．