设函数 $f\left(x\right)=x^3+3x^2+1$．已知 $a\ne 0$，且 $f\left(x\right)-f\left(a\right)=\left(x-b\right)\left(x-a\right)^2,x\in {\mathbb R}$，则实数 $a=$ ，$b=$ ．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（文）
【标注】
【答案】
$-2$；$1$
【解析】
本题考查对函数形式的理解与判断，可以借助方程来处理，要注意 $a$、$b$ 是方程的根．因为\[\begin{split}f\left(x\right)-f\left(a\right)&=\left(x^3+3x^2+1\right)-\left(a^3+3a^2+1\right)\\&=\left(x^3-a^3\right)+\left(3x^2-3a^2\right)\\&=\left(x-a\right)\left[x^2+\left(a+3\right)x+\left(a^2+3a\right)\right].\end{split}\]由题意可得 $a$、$b$ 是方程 $x^2+\left(a+3\right)x+\left(a^2+3a\right)=0$ 的两个根，于是有\[\begin{cases}a^2+\left(a+3\right)a+\left(a^2+3a\right)=0,\\a+b=-\left(a+3\right),\\ab=a^2+3a.\end{cases}\]解得 $a=-2\left(a=0 舍去 \right)$，$b=1$．
题目
答案
解析
备注
