本题以向量知识为背景，利用绝对值三角不等式来解．当 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e$ 同号（认为 $0$ 与任何数同号）时，有\[\begin{split}\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|&=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\\&\leqslant \big|\overrightarrow a+\overrightarrow b\big|\cdot \big|\overrightarrow e\big|\\&=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\\&=\sqrt 7.\end{split}\]取 $\overrightarrow e$ 为与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 同向的单位向量可以使得上述不等式取得等号．
当 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e$ 异号时，有\[\begin{split}\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|&=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\\&\leqslant \big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|\cdot \big|\overrightarrow e\big|\\&=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\\&=\sqrt 3.\end{split}\]综上所述，所求代数式的最大值为 $\sqrt 7$．