本题以向量为依托，考查绝对值三角不等式的性质，注意一些巧妙地变形与化简．由绝对值不等式，有\[\sqrt 6\geqslant \big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\geqslant \big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow e\big|,\]于是对任意单位向量 $\overrightarrow e$，均有 $\big|\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant \sqrt 6$，而\[\big|\overrightarrow a+\overrightarrow b\big|=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2+2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}=\sqrt{5+ 2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b},\]因此 $\big|\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow e\big|$ 的最大值\[\sqrt{5+ 2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}\leqslant \sqrt 6,\]从而 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leqslant \dfrac 12$．
下面证明 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 可以取得 $\dfrac 12$．
（1）若 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e+\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|$，则显然符合题意；
（2）若 $\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|$，此时\[\big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|=\sqrt{\big|\overrightarrow a\big|^2+\big|\overrightarrow b\big|^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}=2,\]于是\[\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\big|+\big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|=\big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e-\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\big|\leqslant 2<\sqrt 6,\]符合题意．
综上所述，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最大值为 $\dfrac 12$．