已知 $x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，且 $x+y=1$，则 $x^2+y^2$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2017年高考北京卷（文）
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 12,1\right]$
【解析】
法一：题意可转化为线段 $x+y=1$（$0\leqslant x\leqslant 1$）与圆 $x^2+y^2=r^2$ 有公共点，求 $r^2$ 的取值范围．
当线段与圆相切时，$r$ 最小为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$；当线段与圆的公共点为 $(0,1),(1,0)$ 时，$r$ 最大为 $1$．
故 $r^2$ 的范围为 $\left[\dfrac 12,1\right]$，即为题目所求范围．
法二：因为 $x\geqslant 0$，$y\geqslant0$，$x+y=1$，所以 $0\leqslant x\leqslant 1$，则\[\begin{split}x^2+y^2&=x^2+(1-x)^2\\&=2x^2-2x+1\\&=2\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12,\end{split}\]所以当 $x=\dfrac 12$ 时，$x^2+y^2$ 取得最小值$\dfrac 12$；当 $x=0\lor 1$ 时，$x^2+y^2$ 取得最大值 $1$．
故 $x^2+y^2$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 12,1\right]$．
当线段与圆相切时，$r$ 最小为 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$；当线段与圆的公共点为 $(0,1),(1,0)$ 时，$r$ 最大为 $1$．
故 $r^2$ 的范围为 $\left[\dfrac 12,1\right]$，即为题目所求范围．
法二：因为 $x\geqslant 0$，$y\geqslant0$，$x+y=1$，所以 $0\leqslant x\leqslant 1$，则\[\begin{split}x^2+y^2&=x^2+(1-x)^2\\&=2x^2-2x+1\\&=2\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12,\end{split}\]所以当 $x=\dfrac 12$ 时，$x^2+y^2$ 取得最小值$\dfrac 12$；当 $x=0\lor 1$ 时，$x^2+y^2$ 取得最大值 $1$．
故 $x^2+y^2$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 12,1\right]$．
题目
答案
解析
备注
