在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2py(p>0)$ 交于 $A,B$ 两点．若 $|AF|+|BF|=4|OF|$，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}$
【解析】
设 $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，联立双曲线与抛物线的方程消 $x$ 得，\[a^{2}y^{2}-2pb^{2}y+a^{2}b^{2}=0,\]所以 $y_{1}+y_{2}=\dfrac{2b^{2}p}{a^{2}}$．
又因为 $|AF|+|BF|=4|OF|$，所以\[y_{1}+y_{2}+p\overset{[a]}=2p,\]（推导中用到：[a]）
因此有\[y_{1}+y_{2}=p=\dfrac{2b^{2}p}{a^{2}},\]所以 $\dfrac{b}{a}=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}$．于是双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}x$．
又因为 $|AF|+|BF|=4|OF|$，所以\[y_{1}+y_{2}+p\overset{[a]}=2p,\]（推导中用到：[a]）
因此有\[y_{1}+y_{2}=p=\dfrac{2b^{2}p}{a^{2}},\]所以 $\dfrac{b}{a}=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}$．于是双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}x$．
题目
答案
解析
备注
