已知 $\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\tan \alpha =2$，则 $\cos \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=$ ．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（文）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
【解析】
由 $\tan \alpha=2$ 得 $\sin \alpha =2\cos \alpha$．
又 $\sin^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$，所以 $\cos^2\alpha =\dfrac 15$．
因为 $\alpha \in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$，所以 $\cos \alpha=\dfrac{\sqrt 5}{5}$，$\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．
所以$\cos \left(\alpha -\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \alpha \cos {\dfrac{\pi}{4}}+\sin \alpha \sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt 5}{5}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}+\dfrac{2\sqrt 5}{5}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．
又 $\sin^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$，所以 $\cos^2\alpha =\dfrac 15$．
因为 $\alpha \in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$，所以 $\cos \alpha=\dfrac{\sqrt 5}{5}$，$\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt 5}{5}$．
所以$\cos \left(\alpha -\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \alpha \cos {\dfrac{\pi}{4}}+\sin \alpha \sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt 5}{5}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}+\dfrac{2\sqrt 5}{5}\cdot \dfrac{\sqrt 2}{2}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．
题目
答案
解析
备注
