用 $A$ 表示值域为 $ {\mathbb{R}} $ 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi \left(x\right)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi \left(x\right)$，存在一个正数 $M$，使函数 $\varphi \left(x\right)$ 的值域包含于区间 $\left[ - M,M\right]$．例如，当 ${\varphi _1}\left(x\right) = {x^3} $，${\varphi _2}\left(x\right) = \sin x$ 时，${\varphi _1}\left(x\right) \in A $，$ {\varphi _2}\left(x\right) \in B$．现有以下 $4$ 个命题：
① 设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $D$，则“$f\left(x\right) \in A$”的充要条件是“$\forall b \in {\mathbb{R}}$，$ \exists a \in D$，$ f\left(a\right) = b$”；
② 函数 $f\left(x\right) \in B$ 的充要条件是 $f\left(x\right)$ 有最大值和最小值；
③ 若函数 $f\left(x\right)$，$ g\left(x\right)$ 的定义域相同，且 $f\left(x\right) \in A $，$ g\left(x\right) \in B$，则 $f\left(x\right) + g\left(x\right) \notin B$；
④ 若函数 $f\left(x\right) = a\ln \left(x + 2\right) + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$（$ x > - 2 $，$a \in {\mathbb{R}} $）有最大值，则 $f\left(x\right) \in B$．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
① 设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $D$，则“$f\left(x\right) \in A$”的充要条件是“$\forall b \in {\mathbb{R}}$，$ \exists a \in D$，$ f\left(a\right) = b$”；
② 函数 $f\left(x\right) \in B$ 的充要条件是 $f\left(x\right)$ 有最大值和最小值；
③ 若函数 $f\left(x\right)$，$ g\left(x\right)$ 的定义域相同，且 $f\left(x\right) \in A $，$ g\left(x\right) \in B$，则 $f\left(x\right) + g\left(x\right) \notin B$；
④ 若函数 $f\left(x\right) = a\ln \left(x + 2\right) + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$（$ x > - 2 $，$a \in {\mathbb{R}} $）有最大值，则 $f\left(x\right) \in B$．
其中的真命题有
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③④
【解析】
集合 $A$ 中的函数是值域为 $\mathbb R$ 的函数，集合 $B$ 中的函数是有界的函数．有界的函数不一定有最值，有最值的函数也不一定是有界函数．对于 ③ 可以用反证法结合绝对值不等式性质推导证明，对于 ④ 可以利用 ③ 的结论分析出 $a=0$．① 若对任意的 $b \in {\mathbb{R}}$，都有 $\exists a \in D$，使得 $f\left(a\right) = b$，则 $f\left(x\right)$ 的值域必为 ${\mathbb{R}}$；反之 $f\left(x\right)$ 的值域为 ${\mathbb{R}}$，则对任意的 $b \in {\mathbb{R}}$，都有 $\exists a \in D$，使得 $f\left(a\right) = b$．故正确；
② 比如函数 $f\left(x\right) = x\left( - 1 < x < 1\right)\in B$，但是它既无最大值也无最小值，故错误；
③ 正确；④ 正确．
② 比如函数 $f\left(x\right) = x\left( - 1 < x < 1\right)\in B$，但是它既无最大值也无最小值，故错误；
③ 正确；④ 正确．
题目
答案
解析
备注
