如图，将一张边长为 $1$ 的正方形纸 $ABCD$ 折叠，使得点 $B$ 始终落在边 $AD$ 上，则折起部分面积的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac 38 $
【解析】
如图，设 $AB'=x(0\leqslant x\leqslant 1)$．
则由相似三角形可得$$\dfrac{BE}{BB'}=\dfrac{\dfrac 12BB'}{AB},$$从而$$BE=\dfrac{BB'^2}{2AB}=\dfrac 12\left(1+x^2\right),$$而继续由相似三角形可得$$\dfrac{BE-CF}{BE}=\dfrac{BC}{BG},$$从而$$BE-CF=BC\cdot\dfrac{BE}{BG}=\dfrac {AB'}{AB}=x,$$解得$$CF=\dfrac 12\left(1+x^2\right)-x,$$因此$$S_{EBCF}=\dfrac 12\left(BE+CF\right)\cdot BC=\dfrac 12\left(x^2-x+1\right)\geqslant \dfrac 38,$$等号当且仅当 $x=\dfrac 12$ 时取得．
则由相似三角形可得$$\dfrac{BE}{BB'}=\dfrac{\dfrac 12BB'}{AB},$$从而$$BE=\dfrac{BB'^2}{2AB}=\dfrac 12\left(1+x^2\right),$$而继续由相似三角形可得$$\dfrac{BE-CF}{BE}=\dfrac{BC}{BG},$$从而$$BE-CF=BC\cdot\dfrac{BE}{BG}=\dfrac {AB'}{AB}=x,$$解得$$CF=\dfrac 12\left(1+x^2\right)-x,$$因此$$S_{EBCF}=\dfrac 12\left(BE+CF\right)\cdot BC=\dfrac 12\left(x^2-x+1\right)\geqslant \dfrac 38,$$等号当且仅当 $x=\dfrac 12$ 时取得．
题目
答案
解析
备注
