如图所示，在三角形 $ABC$ 和三角形 $AEF$ 中，$B$ 是 $EF$ 的中点，$AB=EF=1$，$BC=6$，$CA=\sqrt{33}$，若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE}+\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{AF}=2$，则 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 夹角的余弦值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 23$
【解析】
虽然题目给出的等式中的向量的起点统一为 $A$，但所求却是以 $B$ 为起点的 $\langle \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BF}\rangle$，因此考虑将起点转化为 $B$：$$-\overrightarrow{BA}\cdot\left(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}\right)=2,$$化简得$$2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=2.$$而$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}=1,\quad\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=BA\cdot BC\cdot\cos{\angle ABC}=2,$$因此有 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=2$，于是所求余弦值为$$\dfrac{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}}{BC\cdot BF}=\dfrac 23.$$
题目
答案
解析
备注
