根据题意，所求两个向量夹角的余弦值为\[\begin{split}\dfrac{\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot\left(\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|\cdot\left|\overrightarrow a+2\overrightarrow b\right|}&= \dfrac{x+2y}{\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{x+4y}}\\&=\sqrt{\dfrac{x^2+4xy+4y^2}{x^2+5xy+4y^2}}\\&= \sqrt{1-\dfrac{xy}{x^2+5xy+4y^2}}\\&=\sqrt{1-\dfrac{1}{\dfrac xy+4\cdot\dfrac yx+5}}\\&\geqslant\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt 2}{3},\end{split}\]其中 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a =x$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=y$，等号当且仅当 $x=2y$ 时取得．