正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，$MN$ 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），$P$ 为正方体表面上的动点，当弦 $MN$ 的长度最大时，$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,2]$
【解析】
长度最大的弦 $MN$ 为直径，设内切球的球心为 $O$．根据极化恒等式，有\[\begin{split}4\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}&=\left(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}\right)^2-\left(\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PN}\right)^2\\&=4OP^2-MN^2\\&=4OP^2-4,\end{split}\]于是$$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=OP^2-1,$$其取值范围为 $[0,2]$．
题目
答案
解析
备注
