如图放置的正方形 $ABCD$，$AB=1$，$A$、$D$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴（含原点）上滑动，则 $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
取 $BC$ 中点 $M$，$AD$ 中点 $N$，则由极化恒等式$$4\vec a\cdot \vec b=\left(\vec a+\vec b\right)^2-\left(\vec a-\vec b\right)^2,$$可得$$\overrightarrow {OC}\cdot\overrightarrow {OB}=OM^2-\dfrac 14BC^2=OM^2-\dfrac 14,$$
连接 $ON$、$NM$，则有$$OM\leqslant ON+NM=\dfrac 12AD+AB=\dfrac 32,$$等号当 $O$、$N$、$M$ 三点共线时取得，因此 $OM$ 的最大值为 $\dfrac 32$，所求数量积的最大值为 $2$．
连接 $ON$、$NM$，则有$$OM\leqslant ON+NM=\dfrac 12AD+AB=\dfrac 32,$$等号当 $O$、$N$、$M$ 三点共线时取得，因此 $OM$ 的最大值为 $\dfrac 32$，所求数量积的最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
