已知点 $O$ 为坐标原点，$\triangle ABC$ 为圆 $C_1:(x-1)^2+(y-\sqrt 3)^2=1$ 的内接正三角形，则 $\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 5 $
【解析】
如图，取 $BC$ 的中点 $M$，连接 $AM$，取 $AM$ 的中点 $N$．
欲求代数式\[\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)=\overrightarrow {OA}\cdot 2\overrightarrow {OM}=2\left(ON^2-\dfrac 14AM^2\right)=2ON^2-\dfrac12AM^2,\]其中用到了极化恒等式$$4\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OM}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}\right)^2-\left(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM} \right)^2.$$由圆 $C_1$ 的半径为 $1$ 可得 $\triangle ABC$ 的边长为 $\sqrt 3$，于是 $AM=\dfrac 32$．又$$C_1N=C_1A-\dfrac 12AM=\dfrac 14,$$于是点 $N$ 在以 $C_1$ 为圆心，$\dfrac 14$ 为半径的圆上．
因此 $\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)$ 的最小值为$$2(OC_1-C_1N)^2-\dfrac 12AM^2=5.$$
欲求代数式\[\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)=\overrightarrow {OA}\cdot 2\overrightarrow {OM}=2\left(ON^2-\dfrac 14AM^2\right)=2ON^2-\dfrac12AM^2,\]其中用到了极化恒等式$$4\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OM}=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}\right)^2-\left(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OM} \right)^2.$$由圆 $C_1$ 的半径为 $1$ 可得 $\triangle ABC$ 的边长为 $\sqrt 3$，于是 $AM=\dfrac 32$．又$$C_1N=C_1A-\dfrac 12AM=\dfrac 14,$$于是点 $N$ 在以 $C_1$ 为圆心，$\dfrac 14$ 为半径的圆上．因此 $\overrightarrow {OA}\cdot\left(\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\right)$ 的最小值为$$2(OC_1-C_1N)^2-\dfrac 12AM^2=5.$$
题目
答案
解析
备注
