显然当 $C\to B$，$D\to A$ 时，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ 最小，因此其下确界为 $-4$（取不到）．
不难推知 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}$ 的最大值一定在 $A,C$ 同侧，$B,D$ 同侧时取得．否则可以作 $C$ 或 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点 $C',D'$，使得 $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD'}$ 的值更大．
令 $C(-a,1-a^2)$，$D(b,1-b^2)$，$a,b\in [0,1]$，则\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=(1-a)(b-1)+\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\\&=\left(1-a-b+ab\right)\left(a+b+ab\right),\end{split}\]令 $a+b=2t$，$a-b=2s$，则 $ab=t^2-s^2$，于是所求数量积\[\begin{split}\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(1-2t+t^2-s^2\right)\left(2t+t^2-s^2\right)\\&\leqslant \left(1-2t+t^2\right)\left(2t+t^2\right)\\&=t^4-3t^2+2t,\end{split}\]等号当且仅当 $s=0$ 时取得．
令 $g(t)=t^4-3t^2+2t$，$0<t<1$，则$$g'(t)=4t^3-6t+2=2(t-1)\left(2t^2+2t-1\right),$$于是当 $t=\dfrac{\sqrt 3-1}{2}$ 时，$g(t)$ 取得最大值 $\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}$．
综上，所求数量积的取值范围是 $\left(-4,\dfrac{6\sqrt 3-9}{4}\right]$．