将 $f(x)$ 改写为$$f(x)=\left(2x^2-3\right)a+x\cdot b+1,$$令$$\dfrac{2x^2-3}{x}=\dfrac 51,$$解得$$x=-\dfrac 12\lor x=3,$$代入可得$$\begin{cases} -\dfrac 12\left(5a+b\right)+1\geqslant 0,\\3\left(5a+b\right)+1\geqslant 0,\end{cases}$$从而可得$$-\dfrac 13\leqslant 5a+b\leqslant 2.$$另一方面，当 $a=\dfrac 1{21}$ 且 $b=-\dfrac 47$ 时，有$$f(x)=\dfrac 2{21}\left(x-3\right)^2\geqslant 0,$$因此 $5a+b$ 可以取得 $-\dfrac 13$．
综上所述，$5a+b$ 的最小值为 $-\dfrac 13$．