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已知 $a,b\in\mathbb R$，$a\neq 0$，曲线 $y=\dfrac{a+2}x$，$y=ax+2b+1$，若两条曲线在区间 $[3,4]$ 上至少有一个公共点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 方法
    >
    数形结合
    >
    转化为距离
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
$\dfrac{1}{100}$
【解析】
根据题意，得$$\exists x\in [3,4],\dfrac{a+2}x=ax+2b+1,$$即$$\exists x\in [3,4],\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0.$$将 $x$ 视为参数，则 $a^2+b^2$ 的几何意义是原点 $O$ 到 $aOb$ 坐标平面上的直线$$\left(x^2-1\right)\cdot a+2x\cdot b+x-2=0$$的距离的平方，即$$a^2+b^2=\dfrac{(x-2)^2}{\left(x^2-1\right)^2+(2x)^2}=\dfrac{1}{\left(x-2+\dfrac{5}{x-2}+4\right)^2}\geqslant \dfrac{1}{100},$$等号当且仅当 $x=3$ 时取得，因此所求的最小值为 $\dfrac{1}{100}$．
题目 答案 解析 备注
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