如图，取序列$$0,\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2,\dfrac{5\pi}2,\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}2,\dfrac{11\pi}2,6\pi$$就得到 $m=8$ 的情形．下面证明 $m$ 不可能比 $8$ 更小．事实上，可以证明一个更强的命题：序列中必然包含如上所述的 $8$ 个数．
直观上来说，因为要求序列数最少，所以同一个单调区间内最多存在两个点；同时，这两个点是单调区间的端点时，函数值的差的绝对值最大，所以所有点都取单调区间的端点更合适，但需要满足和为 $12$，如图，严格的推导过程如下：
如上的序列把区间 $[0,6\pi]$ 分成 $7$ 个单调区间，不妨设$$0\leqslant x_1<\cdots<x_{i_1}\leqslant \dfrac{\pi}{2}<x_{i_1+1}<\cdots<x_{i_2}\leqslant \dfrac{3\pi}{2}<\cdots<\dfrac{11\pi}{2}<x_{i_6+1}<\cdots<x_m\leqslant 6\pi,$$则\[\begin{split}&\qquad\sum_{k=1}^{m-1}\left|f(x_k)-f(x_{k+1})\right|\\&= \left|f(x_{i_1})-f(x_1)\right|+\left|f(x_{i_1})-f(x_{i_1+1})\right|+\left|f(x_{i_1+1})-f(x_{i_2})\right|+\cdots+\left|f(x_{i_6+1})-f(x_m)\right|\\ &\leqslant \left|f(x_{i_1})-f(x_1)\right|+\left[ \left|f(x_{i_1})-f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right|+\left|f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(x_{i_1+1})\right| \right]+\left|f(x_{i_1+1})-f(x_{i_2})\right|\\&\qquad\qquad+\cdots+\left|f(x_{i_6+1})-f(x_m)\right|\\&=\left|f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(x_1)\right|+\left|f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(\dfrac{11\pi}{2}\right)-f(x_m)\right|\\&\leqslant \left|f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f(0)\right|+\left|f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right|+\cdots+\left|f\left(\dfrac{11\pi}{2}\right)-f(6\pi)\right|\\&=12,\end{split}\]等号取得的条件为$$x_1=0,x_{i_1}=\dfrac{\pi}{2},\cdots,x_{i_6}=\dfrac{11\pi}{2},x_m=6\pi,$$即$$0,\dfrac{\pi}{2},\cdots,6\pi\in\left\{x_1,x_2,\cdots,x_m\right\},$$因此命题得证．
故 $m$ 的最小值为 $8$．