方程组$$\begin{cases}a+b+c+d=-2,\\ab+ac+ad+bc+bd+cd=-3,\\bcd+acd+abd+abc=4,\\abcd=3,\end{cases}$$的一组实数解 $(a,b,c,d)$ 为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac{-\sqrt{13}-1}2,\dfrac{\sqrt{13}-1}2,\dfrac{-\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)$
【解析】
设 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$，则根据已知条件可得$$f(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+3,$$因此 $a,b,c,d$ 分别是方程$$x^4+2x^3-3x^2-4x+3=0$$的四个实数根．
为了消去 $x^3$ 项，作换元 $t=x+\dfrac 12$，整理得$$16t^4-72t^2+65=0,$$解得$$t^2=\dfrac 54\lor t^2=\dfrac {13}{4},$$进而即得原方程组的一组实数解为 $\left(\dfrac{-\sqrt{13}-1}2,\dfrac{\sqrt{13}-1}2,\dfrac{-\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)$．
为了消去 $x^3$ 项，作换元 $t=x+\dfrac 12$，整理得$$16t^4-72t^2+65=0,$$解得$$t^2=\dfrac 54\lor t^2=\dfrac {13}{4},$$进而即得原方程组的一组实数解为 $\left(\dfrac{-\sqrt{13}-1}2,\dfrac{\sqrt{13}-1}2,\dfrac{-\sqrt 5-1}2,\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)$．
题目
答案
解析
备注
