已知 $\overrightarrow e_1$，$\overrightarrow e_2$ 是空间单位向量，$\overrightarrow e_1\cdot \overrightarrow e_2=\dfrac 12$，若空间向量 $\overrightarrow{b}$ 满足 $\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow e_1 =2$，$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow e_2 =\dfrac 52$，且对于任意 $x,y\in{\mathbb{R}}$，${\left|{\overrightarrow{b}-\left(x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right)}\right|}\geqslant {\left|{\overrightarrow b-\left(x_0\overrightarrow e_1+y_0\overrightarrow e_2\right)}\right|}=1$（$x_0,y_0\in{\mathbb{R}}$），则 $x_0=$ ，$ y_0=$ ，${\left|{\overrightarrow{b}}\right|} =$ ．
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
$1$，$2$，$2\sqrt 2$
【解析】
如图，将所有向量的起点统一为 $O$，$\langle \vec e_1,\vec e_2\rangle=\dfrac\pi 3$．在向量 ${\vec e_1}$，$\vec e_2$ 所在的两条射线上分别取 $OM=2$，$ON=\dfrac 52$，分别过点 $M,N$ 作与射线 $OM,ON$ 垂直的平面，则向量 $\vec b$ 的终点 $P$ 在这两个平面的交线上．记此交线与平面 $MON$ 的交点为 $H$．
根据题意，向量 $x\vec e_1+y\vec e_2$ 的终点 $Q$ 可以取遍整个平面 $MON$，此时$$|PQ|=\left|\vec b-\left(x\vec e_1+y\vec e_2\right)\right|,$$其最小值为 $|PH|$，且 $|PH|=1$．
进而分析平面 $MON$，可以得到 $\overrightarrow{OH}=\vec e_1+2\vec e_2$，于是 $x_0=1$，$y_0=2$．而$$\left|\vec b\right|^2=|OH|^2+|PH|^2=8,$$因此 $\left|\vec b\right|=2\sqrt 2$．
根据题意，向量 $x\vec e_1+y\vec e_2$ 的终点 $Q$ 可以取遍整个平面 $MON$，此时$$|PQ|=\left|\vec b-\left(x\vec e_1+y\vec e_2\right)\right|,$$其最小值为 $|PH|$，且 $|PH|=1$．
进而分析平面 $MON$，可以得到 $\overrightarrow{OH}=\vec e_1+2\vec e_2$，于是 $x_0=1$，$y_0=2$．而$$\left|\vec b\right|^2=|OH|^2+|PH|^2=8,$$因此 $\left|\vec b\right|=2\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
