在四面体 $ABCD$ 中，$AB=CD=5$，$AC=BD=\sqrt{34}$，$AD=BC=\sqrt{41}$，则 $ABCD$ 外接球的表面积是 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$50\pi$
【解析】
我们知道，任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，称这个平行六面体是四面体的外接平行六面体．
特别地，如果四面体的对棱分别相等，那么其外接平行六面体为长方体；如果四面体对棱分别垂直，那么其外接平行六面体的每个面均为菱形；正四面体的外接平行六面体为正方体．
在本题中，易得四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体为三维分别是 $3$、$4$、$5$ 的长方体，其外接球亦为该长方体的外接球．于是外接球半径 $r$ 为长方体对角线长的一半，外接球的表面积为$$4\pi r^2=\pi\cdot\left(3^2+4^2+5^2\right)=50\pi.$$
特别地，如果四面体的对棱分别相等，那么其外接平行六面体为长方体；如果四面体对棱分别垂直，那么其外接平行六面体的每个面均为菱形；正四面体的外接平行六面体为正方体．在本题中，易得四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体为三维分别是 $3$、$4$、$5$ 的长方体，其外接球亦为该长方体的外接球．于是外接球半径 $r$ 为长方体对角线长的一半，外接球的表面积为$$4\pi r^2=\pi\cdot\left(3^2+4^2+5^2\right)=50\pi.$$
题目
答案
解析
备注
