分别考虑$$g(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1+x-a,x\geqslant a$$和函数$$h(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-x+a-1,x<a$$的零点个数．注意到$$g'(x)=a{\mathrm e}^{x-1}+1,h'(x)=a{\mathrm e}^{x-1}-1,$$且当 $a\leqslant 1$ 时 $g(1)=0$．
情形一 $a=0$．
此时如图，符合题意．情形二 $a>0$．此时 $g'(x)>0$，而 $h'(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1$ 有零点为 $a=1$，因此需要进一步讨论．
① $0<a<1$．
此时 $h'(x)<0$，因此 $h(x)$ 单调递减，$g(x)$ 单调递增，而$$g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1<0,$$于是 $g(x)$ 和 $h(x)$ 各有一个零点，符合题意．② $a=1$．
此时与 ① 类似，$h(x)$ 单调递减，$g(x)$ 单调递增，而$$g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1=0,$$于是 $g(x)$ 有一个零点为 $x=1$，$h(x)$ 没有零点，不符合题意．③ $a>1$．
此时 $h(x)$ 先递减再递增，且极小值点 $x_0$ 满足 $a{\mathrm e}^{x_0-1}-1=0$，于是可得极小值为$$h(x_0)=a{\mathrm e}^{x_0-1}-1-x_0+a=a-x_0>0,$$因此 $g(x)$ 与 $h(x)$ 均没有零点，不符合题意．情形三 $a<0$．
此时 $h'(x)<0$，而$$g(a)=a{\mathrm e}^{a-1}-1<0,$$因此函数 $h(x)$ 有一个零点．另一方面，注意到 $g(a)<0$ 且 $g(1)=0$，于是 $g(x)$ 先递增后递减，因此只有当 $x=1$ 为函数 $g(x)$ 的极大值点时符合题意，此时将 $x=1$ 代入$$a{\mathrm e}^{x-1}+1=0$$解得$$a=-1.$$综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\{-1\}\cup [0,1)$．
其他解法 当 $a>0$ 时，将方程变形为$${\mathrm e}^{x-1}=-\left|\dfrac 1ax-1\right|+\dfrac 1a,$$注意以下事实：
1、等式右边图象的“顶点”为 $\left(a,\dfrac 1a\right)$，在双曲线 $y=\dfrac 1x$ 上；
2、等式右边图象恒过点 $(-1,-1)$；
3、等式左边图象与双曲线 $y=\dfrac 1x$ 的交点为 $(1,1)$，并且该点与 $(-1,-1)$ 的连线与等式左边图象相切与 $(1,1)$．其他情形的讨论从略．