若 $f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)$，其中 $a\leqslant b\leqslant c$，对于下列结论：
① $f(b)\leqslant 0$；
② 若 $b=\dfrac{a+c}2$，则 $\forall x\in\mathbb R,f(x)\geqslant f(b)$；
③ 若 $b\leqslant \dfrac{a+c}2$，则 $f(a)\leqslant f(c)$；
④ $f(a)=f(c)$ 成立的充要条件为 $b=0$．
其中正确的是 ．
① $f(b)\leqslant 0$；
② 若 $b=\dfrac{a+c}2$，则 $\forall x\in\mathbb R,f(x)\geqslant f(b)$；
③ 若 $b\leqslant \dfrac{a+c}2$，则 $f(a)\leqslant f(c)$；
④ $f(a)=f(c)$ 成立的充要条件为 $b=0$．
其中正确的是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②③
【解析】
注意到$$f(x)=\left[(x-a)(x-b)(x-c)\right]',$$于是 $f(b)$ 即函数$$F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$$在 $x=b$ 处的切线斜率，结合三次函数图象的对称性易得．例如对于 ②，根据三次函数图象的对称性，$(b,0)$ 为对称中心，于是命题正确，如图：
再比如对于 ③，根据三次函数图象的对称性，若 $b<\dfrac{a+c}{2}$，则对称中心必然在 $x$ 轴下方．过对称中心作 $x$ 轴的平行线，与三次函数图象交于除对称中心以外的两点，设该两点的横坐标分别为 $a',c'(a'<c')$，则$$F'(a)<F'(a')=F'(c')<F'(c),$$因此命题正确．如图：
综上所述正确的结论是 ①②③．
再比如对于 ③，根据三次函数图象的对称性，若 $b<\dfrac{a+c}{2}$，则对称中心必然在 $x$ 轴下方．过对称中心作 $x$ 轴的平行线，与三次函数图象交于除对称中心以外的两点，设该两点的横坐标分别为 $a',c'(a'<c')$，则$$F'(a)<F'(a')=F'(c')<F'(c),$$因此命题正确．如图：综上所述正确的结论是 ①②③．
题目
答案
解析
备注
