设 $x^3+ax+b=0$，其中 $a,b$ 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ．（写出所有正确条件的编号）
① $a=-3$，$b=-3$；
② $a=-3$，$b=2$；
③ $a=-3$，$b>2$；
④ $a=0$，$b=2$；
⑤ $a=1$，$b=2$．
① $a=-3$，$b=-3$；
② $a=-3$，$b=2$；
③ $a=-3$，$b>2$；
④ $a=0$，$b=2$；
⑤ $a=1$，$b=2$．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
①③④⑤
【解析】
将三次方程的实根看成是函数 $f(x)=x^3+ax$ 的图象与直线 $y=-b$ 的公共点的横坐标．
当 $a\geqslant 0$ 时，$f(x)$ 为单调递增函数，且值域为 $\mathbb R$，因此无论 $b$ 为何值，直线 $y=-b$ 与函数 $f(x)=x^3+ax$ 的图象均有唯一公共点．这样 ④ 和 ⑤ 显然正确；
注意到其他条件中 $a$ 的取值均为 $-3$，因此研究函数 $f(x)=x^3-3x$．
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3(x+1)(x-1),$$于是函数 $f(x)$ 有极大值点 $x=-1$ 以及极小值点 $x=1$，对应的极大值为 $2$，极小值为 $-2$，如图．
因此 ① 和 ③ 正确，而 ② 错误．
当 $a\geqslant 0$ 时，$f(x)$ 为单调递增函数，且值域为 $\mathbb R$，因此无论 $b$ 为何值，直线 $y=-b$ 与函数 $f(x)=x^3+ax$ 的图象均有唯一公共点．这样 ④ 和 ⑤ 显然正确；
注意到其他条件中 $a$ 的取值均为 $-3$，因此研究函数 $f(x)=x^3-3x$．
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3(x+1)(x-1),$$于是函数 $f(x)$ 有极大值点 $x=-1$ 以及极小值点 $x=1$，对应的极大值为 $2$，极小值为 $-2$，如图．
因此 ① 和 ③ 正确，而 ② 错误．
题目
答案
解析
备注
