已知函数 $f(x)=2^x$，$g(x)=x^2+ax$（其中 $a\in\mathbb R$），对于不相等的实数 $x_1,x_2$，设 $m=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$，$n=\dfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}$．现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $m>0$；
② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $n>0$；
③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=n$；
④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
① 对于任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $m>0$；
② 对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_1,x_2$，都有 $n>0$；
③ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=n$；
④ 对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_1,x_2$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（文）
【标注】
【答案】
①④
【解析】
当 $x_1,x_2$ 为任意不相等的实数时，$m$ 恒正等价于函数 $f(x)$ 为单调递增函数，$m$ 恒负等价于函数 $f(x)$ 是单调递减函数，于是 ① 正确．类似的，可以判断 ② 错误．
对于 ③，$m=n$ 等价于$$f(x_1)-f(x_2)=g(x_1)-g(x_2),$$即$$f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2),$$也即函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 与某条水平直线（斜率为 $0$）有两个不同交点，等价于 $h(x)$ 不为单调函数，也即 $h'(x)$ 存在变号零点．事实上，$$h(x)=2^x-x^2-ax,$$于是$$h'(x)=2^x\ln 2-2x-a,$$其零点为直线 $y=a$ 与曲线 $y=2^x\ln 2-2x$ 的交点横坐标．考虑到$$\left(2^x\ln 2-2x\right)'=2^x\ln^2 2-2,$$于是 $y=2^x\ln 2-2x$ 有最小值，因此存在 $a$ 使得 $h'(x)$ 没有零点，③ 错误．
对于 ④，采用与 ③ 类似的分析方法，只需要判断函数 $k(x)=f(x)+g(x)$ 的导函数$$k'(x)=2^x\ln 2+2x+a$$是否存在变号零点．考虑到 $y=2^x\ln 2+2x$ 是值域为 $\mathbb R$ 的单调递增函数，于是无论 $a$ 取何值，$k'(x)$ 均存在变号零点，④ 正确．
综上所述，真命题有 ①④．
对于 ③，$m=n$ 等价于$$f(x_1)-f(x_2)=g(x_1)-g(x_2),$$即$$f(x_1)-g(x_1)=f(x_2)-g(x_2),$$也即函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 与某条水平直线（斜率为 $0$）有两个不同交点，等价于 $h(x)$ 不为单调函数，也即 $h'(x)$ 存在变号零点．事实上，$$h(x)=2^x-x^2-ax,$$于是$$h'(x)=2^x\ln 2-2x-a,$$其零点为直线 $y=a$ 与曲线 $y=2^x\ln 2-2x$ 的交点横坐标．考虑到$$\left(2^x\ln 2-2x\right)'=2^x\ln^2 2-2,$$于是 $y=2^x\ln 2-2x$ 有最小值，因此存在 $a$ 使得 $h'(x)$ 没有零点，③ 错误．
对于 ④，采用与 ③ 类似的分析方法，只需要判断函数 $k(x)=f(x)+g(x)$ 的导函数$$k'(x)=2^x\ln 2+2x+a$$是否存在变号零点．考虑到 $y=2^x\ln 2+2x$ 是值域为 $\mathbb R$ 的单调递增函数，于是无论 $a$ 取何值，$k'(x)$ 均存在变号零点，④ 正确．综上所述，真命题有 ①④．
题目
答案
解析
备注
