符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$n$ 是正整数，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2014}\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right)$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$2017091$
【解析】
注意到$$\dfrac n2+\dfrac n3+\dfrac n6=n,$$也就是说如果没有取整函数的作用，那么所求的和即 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2014}n$．但由于取整函数有“收尾”的功效，于是每个 $n$ 都有可能被三个取整函数“削减”．那么不同的 $n$ 被“削减”的幅度到底有多大呢？
此类问题一般先从探索周期性入手．设削减幅度函数$$\Delta (n)=n-\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right),$$则有$$\Delta (n+6)=\Delta (n),$$于是削减幅度函数具有周期性，在一个周期内的削减量分别为$$\Delta (n)=\begin{cases}1,&n=1,2,3,4,\\2,&n=5,\\0,&n=6,\end{cases}$$因此总削减量为$$6\cdot \left[\dfrac {2014}6\right]+\Delta (1)+\Delta (2) +\Delta (3)+\Delta (4)=2014,$$所求和式的值为$$\sum_{n=1}^{2014}n-2014=2027091.$$
此类问题一般先从探索周期性入手．设削减幅度函数$$\Delta (n)=n-\left(\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac n3\right]+\left[\dfrac n6\right]\right),$$则有$$\Delta (n+6)=\Delta (n),$$于是削减幅度函数具有周期性，在一个周期内的削减量分别为$$\Delta (n)=\begin{cases}1,&n=1,2,3,4,\\2,&n=5,\\0,&n=6,\end{cases}$$因此总削减量为$$6\cdot \left[\dfrac {2014}6\right]+\Delta (1)+\Delta (2) +\Delta (3)+\Delta (4)=2014,$$所求和式的值为$$\sum_{n=1}^{2014}n-2014=2027091.$$
题目
答案
解析
备注
