先将问题削弱到取出 $3$ 个不同的数．此时有个不错的想法是只要确定数列的首项和末项，那么数列的中项就确定了．为了使得数列的中项为整数，我们需要数列的首项和末项同时为奇数或同时为偶数．于是所求的不同的等差数列数为 $2{\rm A}_{15}^2=420$．
回到这个问题，按奇偶划分就不能解决症结了．实际上，上面的做法中奇偶并不是本质，本质是找到两个数，它们的差可以支持中间"分区"为整数，也就是差应该为 $2$ 的倍数．因此按 $2$ 为模进行同余分划即可（即按照奇数与偶数分成两个区）．
那么按照这个思路，首项和末项必须相差 $4$ 的倍数，我们应该按模 $4$ 进行同余分划（即按照 $4k,4k+1,4k+2,4k+3$ 分成四个区，每个区为一个同余类），然后在每个同余类中找两个数分别作为首项和末项即可，于是所求的不同的等差数列数为$$2{\rm A}_8^2+2{\rm A}_7^2=196.$$