设平面向量 $\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$ 满足 $\left|\overrightarrow a\right|,\left|\overrightarrow b\right|,\left|\overrightarrow a +\overrightarrow b\right|\in [1,3]$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$
【解析】
由于$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 12\left(\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a\right|^2-\left|\overrightarrow b\right|^2\right)\geqslant -\dfrac {17}2,$$又$$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac 14\left(\left|\overrightarrow a+ \overrightarrow b\right|^2-\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|^2\right)\leqslant \dfrac 94,$$且两个不等式中的等号均可取得，因此 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{17}2,\dfrac 94\right]$．
题目
答案
解析
备注
