已知 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|=\sqrt 3$，$\left|\overrightarrow b-\overrightarrow c\right|=1$，则 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow c\right|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
设 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}$，则由题意有$$OA\perp OB,AC\perp BC,|AC|=\sqrt 3,|BC|=1,$$从而知点 $O,C$ 在以 $ AB $ 为直径的圆上，如图：
记 $ AC $ 的中点为 $ M $，则$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=2|\overrightarrow{OM}|,$$所以求圆上一点到 $ M $ 的距离的最大值即可，显然，当 $ OM $ 过圆心时，$ OM $ 的长有最大值 $\dfrac 32$．
记 $ AC $ 的中点为 $ M $，则$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|=2|\overrightarrow{OM}|,$$所以求圆上一点到 $ M $ 的距离的最大值即可，显然，当 $ OM $ 过圆心时，$ OM $ 的长有最大值 $\dfrac 32$．
题目
答案
解析
备注
