设 $\theta$ 为两个非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ 的夹角，已知对任意实数 $t$，$\left|\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right|$ 的最小值为 $1$，则下列说法正确的有 ．
① 若 $\theta$ 确定，则 $\left|\overrightarrow{a}\right|$ 唯一确定；
② 若 $\theta$ 确定，则 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 唯一确定；
③ 若 $\left|\overrightarrow{a}\right|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定；
④ 若 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定．
① 若 $\theta$ 确定，则 $\left|\overrightarrow{a}\right|$ 唯一确定；
② 若 $\theta$ 确定，则 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 唯一确定；
③ 若 $\left|\overrightarrow{a}\right|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定；
④ 若 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 确定，则 $\theta$ 唯一确定．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②
【解析】
取 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$，则 $\overrightarrow {OH}=t\overrightarrow{a}$ 时，$H$ 在直线 $BA$ 上运动，有 $\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OH}$，如图
已知条件$$\forall t\in\mathbb{R},\left|\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right|_{\min}=1$$等价于点 $O$ 到直线 $BA$ 的距离为 $1$，即$$\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\sin\theta=1.$$由此知只有 ② 正确．④ 是比较容易错选的结果，事实上可能有两个互补的角同时满足条件．
已知条件$$\forall t\in\mathbb{R},\left|\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right|_{\min}=1$$等价于点 $O$ 到直线 $BA$ 的距离为 $1$，即$$\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\sin\theta=1.$$由此知只有 ② 正确．④ 是比较容易错选的结果，事实上可能有两个互补的角同时满足条件．
题目
答案
解析
备注
