首先重新叙述问题：已知 $x,y\in\mathbb R$，$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$，求 $x+y$ 的最大值．利用均值不等式建立 $xy$ 与 $x+y$ 的联系．根据已知，有\[\begin{split} 1&=x^2+y^2+\dfrac 12xy=(x+y)^2-\dfrac 32xy\\&\geqslant (x+y)^2-\dfrac 32\cdot \left(\dfrac{x+y}{2}\right) ^2=\dfrac 58(x+y)^2,\end{split}\]于是$$x+y\leqslant \sqrt {\dfrac 85}=\dfrac {2\sqrt{10}}5,$$等号当 $x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$ 时取得，因此所求 $x+y$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{10}}5$．