注意到 $MP\perp MQ$，于是可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来转移线段 $PQ$，这样做的意义在于将两端都在动的线段 $PQ$ 转化成了一端不动（$M$）而另一端（$E$）运动的线段 $ME$，如图1．此时需要设法建立 $E$ 点与其他已知条件的联系．连接 $OE$、$OP$、$OQ$，我们可以发现共 $PQ$ 边的三角形 $OPQ$ 和 $MPQ$，而 $OE$ 和 $ME$ 分别是这两个三角形的中线，如图2．此时根据中线长公式，有$$OP^2+OQ^2=2OE^2+\dfrac 12PQ^2,$$也即$$2OE^2+2ME^2=20,$$这样我们就得到了一个重要的不变量．结合 $OM=1$，由 $OE$、$ME$、$OM$ 的数量关系可得$$(ME-1)^2\leqslant OE^2\leqslant (ME+1)^2,$$因此$$(ME-1)^2+ME^2\leqslant OE^2+ME^2\leqslant (ME+1)^2+ME^2,$$即$$2ME^2-2ME+1\leqslant 10 \leqslant 2ME^2+2ME+1,$$解得$$\dfrac {-1+\sqrt{19}}2\leqslant ME\leqslant \dfrac{1+\sqrt{19}}2,$$从而 $PQ$，也就是 $2ME$ 的取值范围是 $\left[\sqrt{19}-1,\sqrt{19}+1\right]$．
事实上，不变量可以再次利用中线长公式挖掘几何意义．倍长 $ME$ 至 $N$，则$$ON^2+OM^2=2OE^2+\dfrac 12MN^2=2OE^2+2ME^2=20,$$于是 $ON$ 为定长 $\sqrt{19}$，也就是说 $N$ 点的轨迹是以 $O$ 为圆心的圆，如图3．进而 $PQ$，也就是 $MN$ 的取值范围是 $\left[\sqrt{19}-1,\sqrt{19}+1\right]$．