设函数 $f(x)=x^2-ax+a+3$，$g(x)=ax-2a$，若存在 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $f(x_0)<0$ 与 $g(x_0)<0$ 同时成立，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(7,+\infty)$
【解析】
问题即存在 $x\in \mathbb R$，使得\[\begin{cases}(x-2)a<0,\\ (1-x)a+x^2+3<0.\end{cases}\]情形一 当 $x<1$ 时，上述不等式组等价于\[\begin{cases}a>0,\\ a<\sup\left\{-\dfrac{x^2+3}{1-x}\right\},\end{cases}\]无解．
情形二 当 $x=1$ 时，因为$$\begin{cases}-a<0,\\x^2+3<0,\end{cases}$$无解．
情形三 当 $1<x\leqslant 2$ 时，上述不等式组等价于\[\begin{cases}a>0,\\ a>\inf \left\{\dfrac{x^2+3}{x-1}\right\},\end{cases}\]而\[\dfrac{x^2+3}{x-1}=x-1+\dfrac{4}{x-1}+2,\]因此解得 $a>7$．
情形四 当 $x>2$，上述不等式组等价于\[\begin{cases} a<0,\\ a>\inf\left\{\dfrac{x^2+3}{x-1}\right\},\end{cases}\]无解．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(7,+\infty)$．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(7,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
