如图，一个直径为 $1$ 的小圆，沿着直径为 $2$ 的大圆内壁的逆时针方向滚动，$M$ 和 $N$ 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点 $M$、$N$ 在大圆内所绘出的图形大致是 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
这是一个动态几何问题，涉及的运动很复杂．
如图，对于这个运动，我们考虑将 $MN\to M_1N_1$ 的运动分解为
① 小圆在大圆内的转动（将小圆想象为一枚一元硬币，数字始终朝正上方），相当于“公转”；
② 小圆自身的转动，相当于“自转”．
“公转”部分比较简单，设旋转角为 $\theta_1$；
“自转”可以认为是“公转”引起的．在“公转”过程中，接触点经过的长度（弧 $MM_0$ 的长度）由“自转”提供（弧 $M_0M_1$ 的长度），因此弧 $MM_0$ 的长度与弧 $M_0M_1$ 的长度相等．（可以逆着滚动过程观察）因为小圆的半径为大圆半径的 $\dfrac 12$，因此 $\theta_2=2\theta_1$，于是点 $M_1$ 在直线 $MN$ 上．
又 $M_1N_1$ 为直径，因此 $NN_1\perp MN$．这样就得到了所求的轨迹：
如图，对于这个运动，我们考虑将 $MN\to M_1N_1$ 的运动分解为① 小圆在大圆内的转动（将小圆想象为一枚一元硬币，数字始终朝正上方），相当于“公转”；
② 小圆自身的转动，相当于“自转”．
“公转”部分比较简单，设旋转角为 $\theta_1$；
“自转”可以认为是“公转”引起的．在“公转”过程中，接触点经过的长度（弧 $MM_0$ 的长度）由“自转”提供（弧 $M_0M_1$ 的长度），因此弧 $MM_0$ 的长度与弧 $M_0M_1$ 的长度相等．（可以逆着滚动过程观察）因为小圆的半径为大圆半径的 $\dfrac 12$，因此 $\theta_2=2\theta_1$，于是点 $M_1$ 在直线 $MN$ 上．
又 $M_1N_1$ 为直径，因此 $NN_1\perp MN$．这样就得到了所求的轨迹：
题目
答案
解析
备注
