定义区间 $(a,b)$，$[a,b)$，$(a,b]$，$[a,b]$ 的长度均为 $d=b-a$，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如 $(1,2)\cup [3,5)$ 的长度 $d=(2-1)+(5-3)=3$．设 $f(x)=[x]\cdot \{x\}$，$g(x)=x-1$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$\{x\}=x-[x]$．若用 $d_1$、$d_2$、$d_3$ 分别表示不等式 $f(x)>g(x)$、方程 $f(x)=g(x)$、不等式 $f(x)<g(x)$ 解集区间的长度，则当 $-2016\leqslant x\leqslant 2016$ 时，$d_1=$ ；$d_2=$ ；$d_3=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2017$；$1$；$2014$
【解析】
将 $x$ 表示成 $[x]+\{x\}$，整理 $f(x)-g(x)$，得$$f(x)-g(x)=[x]\cdot\{x\}-([x]+\{x\})+1=([x]-1)(\{x\}-1).$$而 $x-1<[x]\leqslant x$，故$$\{x\}=x-[x]\in[0,1),$$从而 $\{x\}-1<0$，于是 $f(x)-g(x)$ 的正负只需要看 $[x]$ 与 $1$ 的大小关系：
当 $[x]=1$，即 $1\leqslant x<2$ 时，$f(x)=g(x)$，即 $d_2=1$．
当 $[x]<1$，即 $-2016\leqslant x<1$ 时，$f(x)>g(x)$，即 $d_1=2017$．
当 $[x]>1$，即 $x\geqslant 2$ 时，$f(x)<g(x)$，即 $d_3=2014$．
当 $[x]=1$，即 $1\leqslant x<2$ 时，$f(x)=g(x)$，即 $d_2=1$．
当 $[x]<1$，即 $-2016\leqslant x<1$ 时，$f(x)>g(x)$，即 $d_1=2017$．
当 $[x]>1$，即 $x\geqslant 2$ 时，$f(x)<g(x)$，即 $d_3=2014$．
题目
答案
解析
备注
