已知函数 $f(x)=\begin{cases} 1,x\in\mathbb{Q},\\0,x\in\complement_{\mathbb {R}}{\mathbb {Q}}.\end{cases}$，给出下列三个命题：
① 函数 $f(x)$ 为偶函数；
② 存在 $x_i\in\mathbb{R}(i=1,2,3)$，使得以点 $(x_i,f(x_i))(i=1,2,3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③ 存在 $x_i\in\mathbb{R}(i=1,2,3,4)$，使得以点 $(x_i,f(x_i))(i=1,2,3,4)$ 为顶点的四边形是菱形．
其中，所有真命题的序号是 ．
① 函数 $f(x)$ 为偶函数；
② 存在 $x_i\in\mathbb{R}(i=1,2,3)$，使得以点 $(x_i,f(x_i))(i=1,2,3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③ 存在 $x_i\in\mathbb{R}(i=1,2,3,4)$，使得以点 $(x_i,f(x_i))(i=1,2,3,4)$ 为顶点的四边形是菱形．
其中，所有真命题的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③
【解析】
显然 ① 正确，下面考虑 ②③，我们无法画出函数 $f(x)$ 的图象，但这个图象上所有的点都在直线 $y=1$ 与 $x$ 轴上．
对于 ②，一方面因为三个点中至少有两个点纵坐标相同，所以直角三角形至少有一条边与 $x$ 轴平行；另一方面由函数的定义知，直角边不可能与 $x$ 轴垂直，所以直角边不可能与 $x$ 轴平行，从而斜边必与 $x$ 轴平行，于是只可能是如下图的两种情况：
易知，这三个点的横坐标分别相差 $1$，所以它们的坐标只可能全为有理数或全为无理数，故不存在满足条件的三角形；
对于 ③，如图，需要点 $A,B$ 的横坐标为无理数，点 $C,D$ 的横坐标为有理数：
从而 $AH$ 的长为无理数，而 $AD=CD$ 为有理数，可以令 $AH=\sqrt 3$，令 $H(1,0)$，从而有$$D(1,1),C(3,1),A(1-\sqrt 3,0),B(3-\sqrt 3,0),$$故满足条件的菱形存在．
综上，真命题的序号为 ③③．
类似地，大家可以思考，能否找到等边三角形？能否找到直角三角形？
对于 ②，一方面因为三个点中至少有两个点纵坐标相同，所以直角三角形至少有一条边与 $x$ 轴平行；另一方面由函数的定义知，直角边不可能与 $x$ 轴垂直，所以直角边不可能与 $x$ 轴平行，从而斜边必与 $x$ 轴平行，于是只可能是如下图的两种情况：
易知，这三个点的横坐标分别相差 $1$，所以它们的坐标只可能全为有理数或全为无理数，故不存在满足条件的三角形；对于 ③，如图，需要点 $A,B$ 的横坐标为无理数，点 $C,D$ 的横坐标为有理数：
从而 $AH$ 的长为无理数，而 $AD=CD$ 为有理数，可以令 $AH=\sqrt 3$，令 $H(1,0)$，从而有$$D(1,1),C(3,1),A(1-\sqrt 3,0),B(3-\sqrt 3,0),$$故满足条件的菱形存在．综上，真命题的序号为 ③③．
类似地，大家可以思考，能否找到等边三角形？能否找到直角三角形？
题目
答案
解析
备注
