已知函数 $f(x)=\begin{cases} -x^2+ax,x\leqslant 1,\\ax-1,x>1\end{cases}$，若 $\exists x_1,x_2\in\mathbb{R},x_1\ne x_2$，使 $f(x_1)=f(x_2)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,2\right)$
【解析】
$f(x)$ 是分段函数，题中条件“$\exists x_1,x_2\in\mathbb{R},x_1\ne x_2$，使 $f(x_1)=f(x_2)$ 成立”，即“函数 $f(x)$ 不是单调函数”．
考虑到右半段的单调性，找到讨论分界点 $0$：
当 $a<0$ 时，函数左半段（$x\leqslant 1$ 时）为开口向下的抛物线，右半段是斜率为负的直线，函数一定不单调，如图，始终满足题意；
当 $a=0$ 时，显然满足题意；
当 $a>0$ 时，左半段是开口向下的抛物线，且对称轴为 $x=\dfrac a2$，取抛物线上 $x\leqslant 1$ 的一段，再从点 $(1,a-1)$ 上作斜率为 $a>0$ 的直线，如下图：
由图象知，当 $\dfrac a2<1$ 时，满足条件，故 $0<a<2$；
综上知，$a$ 的取值范围为 $a<2$．
考虑到右半段的单调性，找到讨论分界点 $0$：
当 $a<0$ 时，函数左半段（$x\leqslant 1$ 时）为开口向下的抛物线，右半段是斜率为负的直线，函数一定不单调，如图，始终满足题意；
当 $a=0$ 时，显然满足题意；当 $a>0$ 时，左半段是开口向下的抛物线，且对称轴为 $x=\dfrac a2$，取抛物线上 $x\leqslant 1$ 的一段，再从点 $(1,a-1)$ 上作斜率为 $a>0$ 的直线，如下图：
由图象知，当 $\dfrac a2<1$ 时，满足条件，故 $0<a<2$；综上知，$a$ 的取值范围为 $a<2$．
题目
答案
解析
备注
