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"对任意 $x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$ "是" $k\leqslant 1$ "的 条件．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    基本极限
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
【答案】
充分必要
【解析】
必要性当 $k\leqslant 1$ 时，有\[k\sin x\cos x\leqslant \sin x\cos x=\dfrac 12\sin 2x<\dfrac 12\cdot 2x=x.\]充分性由前面的分析知，只需要证明$$\forall x\in(0,\pi),k\sin x-x<0\Rightarrow k\leqslant 1.$$设 $f(x)=k\sin x-x,x\in(0,\pi)$，用反证法考虑：：
若 $k>1$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=k\cos x-1$$的值在 $\left(0,\arccos\dfrac 1k\right )$ 上大于零，于是 $f(x)$ 在此区间上单调递增，于是此时有 $f(x)>f(0)=0$，矛盾．
故假设不成立，即 $k\leqslant 1$，充分性得证．
题目 答案 解析 备注
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