已知 $\triangle ABC$，若存在 $\triangle A_1B_1C_1$，满足$$\dfrac {\cos A}{\sin A_1}=\dfrac {\cos B}{\sin B_1}=\dfrac {\cos C}{\sin C_1}=1,$$则称 $\triangle A_1B_1C_1$ 是 $\triangle ABC$ 的一个"友好"三角形．
在满足下述条件的三角形中，存在"友好"三角形的是 ；（请写出所有符合要求的条件的序号）
① $A=90^\circ,B=60^\circ,C=30^\circ$；
② $A=75^\circ,B=60^\circ,C=45^\circ$；
③ $A=75^\circ,B=75^\circ,C=30^\circ$．
若等腰 $\triangle ABC$ 存在“友好”三角形，则其顶角的度数为 ．
在满足下述条件的三角形中，存在"友好"三角形的是
① $A=90^\circ,B=60^\circ,C=30^\circ$；
② $A=75^\circ,B=60^\circ,C=45^\circ$；
③ $A=75^\circ,B=75^\circ,C=30^\circ$．
若等腰 $\triangle ABC$ 存在“友好”三角形，则其顶角的度数为
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
②；$45^{\circ}$
【解析】
三角形内角的正弦值非负知$$\cos A>0,\cos B>0,\cos C>0,$$即 $\triangle ABC$ 为锐角三角形．由条件知$$\cos A=\sin\left(\dfrac {\pi}{2}-A\right )=\sin A_1,$$所以有$$\left(\dfrac {\pi}{2}-A=A_1\right )\lor \left(\dfrac {\pi}{2}-A+A_1=\pi\right ).$$从而得到$$A_1=\dfrac {\pi}{2}\pm A.$$同理有$$B_1=\dfrac {\pi}{2}\pm B,C_1=\dfrac {\pi}{2}\pm C.$$接下来的问题是上面三个式子中的正负号如何选择．
事实上，如果某个式子取了正号，则对应的 $\triangle A_1B_1C_1$ 中相应的内角为钝角，故最多只能有一个正号；而如果三个式子都取负号，则将三个式子相加会得到矛盾：$\pi=\dfrac {3\pi}{2}-\pi$．故不妨设$$A_1=\dfrac{\pi}{2}+A,B_1=\dfrac {\pi}{2}-B,C_1=\dfrac {\pi}{2}-C.$$将这三个式子左右两边分别相加得$$B+C=\dfrac {\pi}{2}+A\Rightarrow A=\dfrac {\pi}{4}.$$所以只有 ② 满足条件；$45^\circ$ 的角必为等腰三角形的顶角，否则 $\triangle ABC$ 为直角三角形．
事实上，如果某个式子取了正号，则对应的 $\triangle A_1B_1C_1$ 中相应的内角为钝角，故最多只能有一个正号；而如果三个式子都取负号，则将三个式子相加会得到矛盾：$\pi=\dfrac {3\pi}{2}-\pi$．故不妨设$$A_1=\dfrac{\pi}{2}+A,B_1=\dfrac {\pi}{2}-B,C_1=\dfrac {\pi}{2}-C.$$将这三个式子左右两边分别相加得$$B+C=\dfrac {\pi}{2}+A\Rightarrow A=\dfrac {\pi}{4}.$$所以只有 ② 满足条件；$45^\circ$ 的角必为等腰三角形的顶角，否则 $\triangle ABC$ 为直角三角形．
题目
答案
解析
备注
