根据 $g(n)$ 的定义有$$g(n)=\begin{cases}n,& 2\nmid n,\\g\left(\dfrac{n}{2}\right),&2 \mid n.\end{cases}$$记 $S_n=g(1)+g(2)+g(3)+\cdots+g(2^n-1)$，则\[\begin{split}S_{n}&=\left[g(1)+g(3)+\cdots+g(2^{n}-1)\right]+\left[g(2)+g(4)+\cdots+g(2^{n}-2)\right]\\&=\left[1+3+\cdots+(2^{n}-1)\right]+\left[g(1)+g(2)+\cdots+g(2^{n-1}-1)\right]\\&=4^{n-1}+S_{n-1}.\end{split}\]由累加法知$$ S_{2015}=4^{2014}+4^{2013}+\cdots+4^1+1=\dfrac 13\left(4^{2015}-1\right).$$本题很难直接找到 $g(n)$ 的表达式，但从 $g(n)$ 满足的递推关系入手就容易很多，因为 $g(n)$ 具有很好的递归结构．