已知集合 $A=\{x\mid x=a_0+a_1\cdot 3+a_2\cdot 3^2+a_3\cdot 3^3\}$，其中 $a_k\in\{0,1,2\}$，$k=0,1,2,3$，且 $a_3\ne 0$．则 $A$ 中所有元素之和等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2889$
【解析】
我们很熟悉十进制的数，比如$$134=1\cdot 10^2+3\cdot 10+4,$$也就是逢十进一，如果将其中 $10$ 的幂次算成 $p,p\in\mathbb{N}^*,p>1$，仍然可以表示出所有的正整数，就是 $p$ 进制的数．比如 $134$ 可以写成$$134=1\cdot 3^4+1\cdot 3^3+2\cdot 3^2+2\cdot 3+2,$$于是 $134=(11222)_3$．现在我们先来看看 $A$ 中的元素都有哪些，集合 $A$ 中的元素用三进制表示即 $(a_3a_2a_1a_0)_3$，因为 $a_3\ne 0$，所以最小的元素为 $(1000)_3=3^3=27$，最大的元素为 $(2222)_3=3^4-1=80$．所以集合 $A=\{27,28,29,\cdots,80\}$，从而所有元素之和为$$\dfrac{27+80}{2}\cdot (80-27+1)=2889.$$
题目
答案
解析
备注
