已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac {5a_{n-1}-2}{a_{n-1}-5},n\in\mathbb{N}^*,n\geqslant 2$，且 $a_1+a_2+\cdots+a_{2000}=50$，则 $a_1+a_{20}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 1{20}$
【解析】
利用不动点法直接求数列的通项太复杂，我们不妨先写几项寻找数列的规律．令 $a_1=a$，则$$a_2=\dfrac{5a-2}{a-5},a_3=\dfrac{5\cdot\dfrac{5a-2}{a-5}-2}{\dfrac{5a-2}{a-5}-5}=a=a_1$$于是\[\begin{split}a_2&=a_4=a_6=\cdots,\\a_1&=a_3=a_5=\cdots.\end{split}\]从而$$a_1+a_{20}=a_1+a_2=\dfrac{50}{1000}=\dfrac{1}{20}.$$
题目
答案
解析
备注
