在本题中，关键是表达出前 $30$ 项的和，由条件比较容易求出两项两项的和，我们以此入手．
由题意知$$a_2-a_1=1,a_3+a_2=3,a_4-a_3=5,\cdots$$要求的是各项的和，而这三个式子适当相加相减便可以得到$$a_1+a_3=2,a_2+a_4=8,$$于是我们对一般项进行类似推理：
在题目的条件中依次令 $n=2k-1,2k,2k+1,k\in\mathbb{N}^*$，得到$$a_{2k}-a_{2k-1}=4k-3,a_{2k+1}+a_{2k}=4k-1,a_{2k+2}-a_{2k+1}=4k+1.$$将前两式相减得$$a_{2k+1}+a_{2k-1}=2,$$将后两式相加得$$a_{2k+2}+a_{2k}=8k,$$于是我们得到前 $30$ 项中的奇数项的和为$$a_1+(a_3+a_5)+(a_7+a_9)+\cdots+(a_{27}+a_{29})=a_1+14.$$偶数项的和为\[\begin{split} &a_2+(a_4+a_6)+\cdots+(a_{28}+a_{30})\\=&(1+a_1)+8\times 2+8\times 4+\cdots+8\times 14\\=&1+a_1+16\times\dfrac {1+7}{2}\times 7\\=&449+a_1.\end{split}\]因此$$S_{30}=a_1+14+449+a_1=463+2a_1=663,$$解得 $a_1=100$．