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在平面直角坐标系中，点集 $A=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 1\}$，$B=\{(x,y)|x\leqslant 4,y\geqslant 0,3x-4y\geqslant 0\}$，则点集 $P=\{(x,y)|x=x_1+3,y=y_1+1,(x_1,y_1)\in A\}$ 所表示的平面区域的面积为 ；点集 $Q=\{(x,y)|x=x_1+x_2,y=y_1+y_2,(x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$ 所表示的平面区域的面积为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    运动的分解与合成
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    直线与圆的位置关系
【答案】
$\pi$；$18+\pi$
【解析】
第一空从点 $M(x,y)$ 得到点 $M'(x+3,y+1)$ 相当于将点 $M$ 向右平移 $3$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位．
根据点集 $P$ 的定义知，点集 $P$ 就是将点集 $A$ 中的任意一个点向右平移 $3$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位得到的，所以直接将点集 $A$ 表示的平面区域作这样的平移就能得到点集 $P$．
点集 $A$ 是以原点为圆心的单位圆，所以点集 $P$ 就是以 $(3,1)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆，面积为 $\pi$，如图：第二空在点集 $Q$ 中，横坐标是由两个变化的数共同决定的，纵坐标也是由两个变化的数共同决定的，受 $(1)$ 的启发，可以先取定一点 $M(x_2,y_2)\in B$，让 $(x_1,y_1)\in A$ 变化，由此得到的平面区域是点集 $Q$ 的一部分，再让 $M(x_2,y_2)$ 在区域 $B$ 中运动起来，就可以得到整个点集 $Q$ 表示的区域．
由第一空知，取定 $M(x_2,y_2)\in B$ 时，得到的点集是以 $M$ 为圆心，以 $1$ 为半径的圆．当 $M$ 在区域 $B$ 中运动起来，这些单位圆（及其内部）运动扫过的区域就是所求的平面区域．$B$ 是如下的三角形 $OPQ$ 及其内部构成的区域，其中 $P(4,3),Q(4,0)$，只需考虑 $M$ 在边界三角形 $OPQ$ 上的运动即可，得到的边界及其内部就是 $Q$ 表示的平面区域，如图：容易计算得所求面积为 $18+\pi$．
题目 答案 解析 备注
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