已知满足条件 $x^2+y^2\leqslant 1$ 的点 $(x,y)$ 构成的平面区域的面积为 $S_1$，满足条件 $[x]^2+[y]^2\leqslant 1$ 的点 $(x,y)$ 构成的平面区域的面积为 $S_2$（其中 $[x],[y]$ 分别表示不超过 $x,y$ 的最大整数），则 $S_1$ 与 $S_2$ 的大小关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$S_1<S_2$
【解析】
问题的难点在于如何将约束条件$$[x]^2+[y]^2\leqslant 1$$几何化．考虑到 $[x]$ 与 $[y]$ 均为整数，于是可以分类讨论：
情形一 $[x]=-1$ 时，$[y]=0$；
情形二 $[x]=0$ 时，$[y]=-1,0,1$；
情形三 $[x]=1$ 时，$[y]=0$．
当 $[x]=k$ 时，有$$k\leqslant x<k+1,$$从而每个整点 $(m,n)$（其中 $[x]=m,[y]=n$）对应这个点右上方的小正方形，如图：
于是得到满足条件 $[x]^2+[y]^2\leqslant 1$ 的点 $(x,y)$ 构成的平面区域如下：
容易得到 $S_1=\pi<S_2=5$．
当 $[x]=k$ 时，有$$k\leqslant x<k+1,$$从而每个整点 $(m,n)$（其中 $[x]=m,[y]=n$）对应这个点右上方的小正方形，如图：
于是得到满足条件 $[x]^2+[y]^2\leqslant 1$ 的点 $(x,y)$ 构成的平面区域如下：容易得到 $S_1=\pi<S_2=5$．
题目
答案
解析
备注
