已知正数 $a,b,c$ 满足：$5c-3a\leqslant b\leqslant 4c-a$，$c\ln b\geqslant a+c\ln c$，则 $\dfrac ba$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$[\mathrm e,7]$
【解析】
题目条件中的不等式含有三个参数，其中不等式 $5c-3a\leqslant b\leqslant 4c-a$ 为齐次式，而不等式 $c\ln b\geqslant a+c\ln c$ 可以转化成 $\ln\dfrac bc\geqslant \dfrac ac$，于是我们令 $x=\dfrac ac,y=\dfrac bc$，将条件转化为$$\begin{cases} x+y\leqslant 4,\\3x+y\geqslant 5,\\y\geqslant {\mathrm e}^x.\end{cases}$$它表示的平面区域如下图：
因为目标函数 $\dfrac ba=\dfrac yx$ 为可行域中一点与原点连线的斜率，所以点 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 72\right )$ 对应目标函数的最大值 $7$．
下面考虑目标函数的最小值：
容易求出过原点且与 $y=\mathrm{e}^x$ 相切的直线为 $y=\mathrm{e}x$，切点坐标为 $M(1,\mathrm{e})$，而点 $M$ 在可行域内，且有 $\mathrm e^x\geqslant \mathrm {e}x$，故 $\dfrac yx$ 的最小值为 $\mathrm e$．从而知所求的取值范围为 $[\mathrm e,7]$．
因为目标函数 $\dfrac ba=\dfrac yx$ 为可行域中一点与原点连线的斜率，所以点 $A\left(\dfrac 12,\dfrac 72\right )$ 对应目标函数的最大值 $7$．下面考虑目标函数的最小值：
容易求出过原点且与 $y=\mathrm{e}^x$ 相切的直线为 $y=\mathrm{e}x$，切点坐标为 $M(1,\mathrm{e})$，而点 $M$ 在可行域内，且有 $\mathrm e^x\geqslant \mathrm {e}x$，故 $\dfrac yx$ 的最小值为 $\mathrm e$．从而知所求的取值范围为 $[\mathrm e,7]$．
题目
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