这道题是整点问题，画出平面直角坐标系中的整点，从几何与代数两方面去考虑这几个结论的正确性．对于不成立的结论，只要举出反例即可，对于成立的结论则需要给出证明．
考虑 ①，画出原点附近的整点，如图的直线既不与坐标轴平行，又不经过任何整点，比如直线 $y=x+\dfrac 12$，这样的直线有无穷多条，① 成立；考虑 ②，$k$ 为斜率，$b$ 为纵截距，在 $y$ 轴上任取一个纵坐标为无理数的点，考虑这个点与任何一个整点（不在 $y$ 轴上）的连线，则该直线的斜率一定为无理数，但这条直线上有且仅有一个整点．例如过 $(0,\sqrt 2)$ 与 $(1,0)$ 的直线$$y=\sqrt 2(1-x),$$故 ② 不正确，⑤ 正确，对于 ⑤ 也可以考虑过任意一个整点，且斜率为无理数的直线，这条直线上一定没有其它整点，否则两个整点的连线对应的斜率必为有理数，故 ⑤ 正确；
考虑 ③，当直线 $l$ 经过两个不同的整点 $A,B$ 时，点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点，以及点 $B$ 关于点 $A$ 的对称点一定都是整点，且在直线 $l$ 上，类似这样的对称可以一直进行下去，所以 $l$ 一定经过无穷多个整点．反之显然，故 ③ 成立．考虑 ④，当 $y=kx+b$ 经过无穷多个整点时，由斜率公式知 $k$ 为有理数，从而 $b=y-kx$ 为有理数；反之，$k,b$ 都是有理数时，可以不经过任何整点，如 ① 中的例子 $y=x+\dfrac 12$，故 ④ 错误．
综上，正确的命题为 ①③⑤．